1.3.4. Сформулируем условие самосопряженности операторов. Выделим из операторных уравнений (1.1) и (1.4) собственные значения и , не нарушая равенств. Учтем, что символ оператора означает преобразование функции, записанной справа от него.* Поэтому, чтобы не нарушить смысла преобразования, влекущего за собой нарушение равенств (1.1) и (1.4), домножим слева первое из них на , а второе на. Затем следует справа домножить каждую из частей (правую и левую) обоих уравнений на произведение дифференциалов всех координат и результат проинтегрировать во всем пространстве изменения аргументов. Сравним ход этих преобразований:
, ;
, ;
, ;
, .
Вообще говоря, это дело вкуса и удобства. Важно далее всюду соблюдать оговоренные однажды правила математического синтаксиса.
Правые части этих последних равенств равны:
и
Поэтому равны и левые, т. е. получаем равенство (1.5), которое выражает условие самосопряженности операторов, имеющих действительные собственные значения.
(1.5)
1.3.5. В формуле (1.5) представлена функция и ее комплексно-сопряженный "двойник" , а в общем виде эрмитов оператор связывает две разные функции f и g аналогичной формулой:
(1.6)
Обратим внимание читателя на то, что процедура комплексного сопряжения оператора и перевод его в связана с тем, что мнимая единица в качестве численного параметра входит в конструкцию оператора.
1.3.6. Запись уравнений типа .(1,5) и (1.6) можно упростить и одновременно придать им дополнительный смысл, используя символы-скобки и , предложенные Дираком и называемые бра- и кет-символами соответственно (от англ. brасkets – скобки). Итак, вместо знаков интеграла, функций и дифференциалов переменных, образующих вместе операцию интегрирования, запишем эквивалентные символы:
и
где называется бра-вектором, а – кет-вектором. В таком случае интеграл от произведения двух функций приобретает вид скалярного произведения
Фуллерены
Для химика, основные области интересов
которого - изучение превращений известных веществ и синтез новых, элементарный
углерод - не самое интересное из веществ. Ситуация замечательным образом ...
Фосфолипазы, их классификация и свойства
Фосфолипазы (англ. phospholipase) ферменты класса гидролаз,
катализирующие гидролиз фосфоглицеридов.. В зависимости от положения
гидролизуемой связи в фосфолипиде различают 4 основных класса ...