Основные черты математического аппарата квантовой механики
Библиотека / Основные понятия и образы квантовой механики / Библиотека / Основные понятия и образы квантовой механики / Основные черты математического аппарата квантовой механики Основные черты математического аппарата квантовой механики
Страница 3

(1.7)

Если в интеграл введем оператор, то получаем также символическое скалярное произведение

, (1.8)

в котором вектор преобразован оператором в новую волновую функцию-вектор, равный .

Таким образом, в этой записи очень многие важные интегралы квантовой механики оказываются просто скалярными произведениями различных бра- и кет-векторов. Формула (1.6) в бракет-символах приобретает вид:

= (1.9)

1.3.7. Из условия (1.6) или (1.9) вытекает чрезвычайно важное свойство собственных функций эрмитова оператора, называемое свойством ортогональности. Поясним смысл этого определения. Для этого рассмотрим две разные собственные функции эрмитова оператора, например, f и g, которым отвечают разные ненулевые собственные числа и соответственно, т.е. справедливы операторные равенства

и (1.10)

Образуем скалярные произведения

и (1.11)

Из первого скалярного произведения вычтем произведение, комплексно-сопряженное второму, и с учетом (1.11) получим:

(1.12)

По определению эрмитова оператора получаем:

, ,

откуда следует:

(1.13)

Поскольку, то уравнение (1.13) справедливо, если

, или (1.14)

Функции g и f, удовлетворяющие условию (1.14), называются ортогональными во всей области определения переменных по аналогии с ортогональными векторами, скалярное произведение которых равно нулю.

1.3.8. Ортогональный набор функций, эрмитова оператора очень удобен тем, что функцию, определенную на тех же переменных, можно разложить в ряд по набору. Таким образом, он может рассматриваться в качестве базисного набора, аналогичного набору ортогональных базисных векторов.

1.3.9. Такое разложение представляется всегда в виде линейной комбинации. Например, если ортогональный набор включает функции (f1, f2, f3, . fn, .), , то строгое разложение произвольной функции F примет вид бесконечного ряда:

(1.15)

Если выбираемый ортогональный набор ограничен, то ряд состоит из конечного числа слагаемых.

Ортонормированные наборы собственных функций эрмитовых операторов представляют собой естественную основу для конструирования математических образов дискретных состояний физических систем.

Страницы: 1 2 3 4