Операторы момента импульса и их коммутация
Библиотека / Библиотека / Операторы момента импульса и их коммутация Операторы момента импульса и их коммутация
Страница 3

(4.86)

(4.87)

Обратите внимание на то, что операторы и изменяют характеристику преобразуемой функции, и формулы (4.86) и (4.87) не создают уравнений на собственные значения, а постоянные – это просто численные множители. Таким образом, эти формулы позволяют “пересчитывать” состояния в проделах одного вырожденного уровня, которому отвечает конкретный модуль момента импульса, заданный квантовым числом l. При этом сдвиг между ближайшими значениями проекций равен , т.е.

. (4.88)

4.3.5.11. Напоминаем, что волновые функции являются собственными функция-ми операторов и . На основании уравнений (4.64) и (4.68) можно записать

(4.89)

а из уравнений (4.58) и (4.70) следует

(4.90)

При вычитании (4.90) из (4.89) получаем операторное уравнение (4.71) с конкретным собственным значением т.е.

. (4.91)

Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91).

4.3.5.12. Для этого исследуем произведение операторов вида

.

Подставляя коммутатор (4.66), получим

(4.92)

Совершенно аналогично

(4.93)

или при совместной записи

(4.94)

В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (4.92) – (4.94), с одной стороны, и уравнений (4.90) и (4.91) – с другой.

4.3.5.13. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов. Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.

Таблица 4.3. Коммутаторы операторов момента импульса

1\ 2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Страницы: 1 2 3 4

Смотрите также

Бериллий
   Соединения бериллия  в  виде  драгоценных камней были известны еще в древности.  С давних пор люди искали и разрабатывали месторождения аквамаринов, изумрудов и бериллов. Есть свидетельс ...

Синтез 9-ортогидроксиаминоакридина
Одним из наиболее перспективных и важных направлений в области медицинской химии является поиск новых иммуностимуляторов, веществ обладающих противовирусной активностью. К числу веществ, об ...

Учёт неидеальности растворов в кинетических исследованиях. "Идеальные" и "неидеальные" поверхности в гетерогенном катализе
...