, (4.76)
т.е. и
(4.77)
4.3.5.6. Наконец, мы подошли вплотную к решению важнейшей проблемы – связи квантового числа l со значением квадрата момента импульса и с параметром в уравнении (4.62). Обратимся вновь к уравнению (4.72). В его правой части стоит сумма квадратов операторов. Исследуем её, разлагая на комплексные сомножители по аналогии с задачей о гармоническом осцилляторе. Обозначим их
и
. Их смысл подобен смыслу операторов
(3.79) и
(3.80) – они также являются операторами сдвига состояний.
(4.78)
(4.79)
4.3.5.7. Если в задаче об осцилляторе каждый из операторов сдвигов исследовался в паре с гамильтонианом, то в данном случае сдвиги не будут связаны с перемещением по энергетической лесенке уровней. Здесь мы будем двигаться как бы по энергетической горизонтали в пределах одного вырожденного уровня, пересчитывая состояния с общим модулем |, но с разными его ориентациями. По этой причине удобнее всего рассмотреть последствия перестановок операторов
и
, с оператором
, действие которого на конкретную собственную волновую функцию описывается уравнением (4.69). Составим коммутаторы
и
. Для удобства и сокращения громоздких выкладок объединим символы (+) и (–). Далее всюду будем полагать, что запись индексов в виде столбца (±) означает, что в последующих выражениях верхнему индексу (+) будут соответствовать верхние же знаки в совместных записях и, наоборот, нижнему индексу (–) – знаки внизу, например:
(4.80)
Подставим в (4.80) уравнения (4.78) и (4.79), затем перегруппируем слагаемые
(4.81)
Коммутаторы и
уже выведены выше – формула (4.66). Используем их выражения
т.е. (4.82)
(4.83)
4.3.5.8. Исходя из формулы (4.80), произведение операторов можно записать так
При подстановке (4.82) и (4.83) это дает
(4.84)
Найдем далее результат действия операторов на волновую функцию
, для которой заданы квантовые числа l и m, т.е.
, используя уравнения (4.64) и (4.69):
(4.85)
4.3.5.9. Выражение (4.85) – это по-прежнему операторное уравнение на собственные значения. Оно показывает, что функции соответствует состояние с квантовым числом m+1, т. е увеличенным на единицу по сравнению с исходной функцией
- состояние
. Таким образом, оператор
с полным правом может быть назван оператором повышения состояния (но не уровня!). Аналогично оператор
– оператор понижения, так как функции
соответствует уменьшенное квантовое число –
4.3.5.10. Следовательно, действие операторов повышения и понижения на волновую функцию можно представить так
Термический анализ
Метод исследования
физико-химических и химических превращений, происходящих в минералах и горных
породах в условиях заданного изменения температуры. Термический анализ
позволяет идентифицировать от ...
Разработка энергосберегающей технологии ректификации циклических углеводородов
Процесс ректификации
играет ведущую роль среди процессов разделения промышленных смесей. Большая
энергоемкость процесса делает поиск оптимальных схем разделения актуальной
задачей химическо ...
Алкалоиды рода Carex на Европейском северо-востоке России
...