Энергия искомого основного уровня равна . (3.99)

Последовательными сдвигами на

вверх, согласно уравнению (3.92), получается вся лесенка энергетических уровней, и схема квантования энергии осциллятора передается формулой:

(3.100)

3.5.12.

Оператор повышения позволяет получить весь спектр волновых функций из . Если υ

раз подействовать оператором на , то получитсяс точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ

-го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ

:

. (3.101)

Напомним, что любое преобразование волновой функции, в общем случае, порождает необходимость новой нормировки.

3.5.13.

Обсудим вид волновых функций осциллятора. Для этого удобно произвести еще одно упрощение за счет замены переменной путем подстановки:

, (3.102)

благодаря чему и оператор повышения , необходимый для полу-чения , примут вид:

, (3.103)

. (3.104)

Постоянный коэффициент в выражении (3.104) ие играет роли, так как к функции Ψ

υ

, генерируемой по формуле (3.105), он добавляет лишь множитель , который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя А

υ

, и поэтому Ψ

υ

передается формулой:

(3.105)

Оператор представляет собой бином, составленный из степеней переменной s

и оператора дифференцирования , который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду:

, (3.106)

где – многочлен степени υ, называемый полиномом Эрмита

. Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности:

. (3.107)

Последовательно придавая υ значения 0, 1, 2, 3 …, читатель легко может вывести формулы полиномов Эрмита разных порядков. Для того, чтобы читатель смог проверить свои расчеты, приведем в табл.2 несколько первых полиномов Эрмита вместе с их корнями и графиками. В табл.2 также изображены графики ненормированных волновых функций

=.

У волновых функций имеется один и тот же множитель – экспонента ; эта быстро спадающая к нулю функция при удалении от начала координат “прижимает” к оси абсцисс расходящиеся было ветви полиномов. В результате получается картина, очень напоминающая поведение волновых функции “ящика”.