Уравнение шредингера

Ядро занимает лишь незначительную часть общего объема атома, хотя концентрирует почти всю массу атома. Вокруг ядра группируются электроны. Они вносят очень небольшой вклад в общую массу атома, но зато занимают большой объем и обусловливают размеры атома. Главная концепция современной теории микромира состоит в том, что в атомной шкале частицы и волны незаметно переходят друг в друга, т.е. частицы имеют свойства волн, а волны - свойства частиц. Несмотря на то, что волновая природа фотонов (то есть света) была установлена давно, почти никто до 1925 г. не принимал всерьез точку зрения, согласно которой вещество (например, электроны, атомы) подобно волне, а не корпускулярно. Но в 1925 г. Дэвиссон и Джермер открыли дифракцию (т.е. волновые свойства) электронов на кристаллической решетке. Опыт по дифракции, позднее проведенный с другими частицами, включая молекулярный водород, четко показал, что частицы имеют волновые свойства.

В 1924 г. Л. Де Бройль предположил, что любая частица, движущаяся с моментом количества движения р, должна иметь в некотором смысле длину волны, выражаемую как λ=h/p, где h - постоянная Планка. В 1926 г. Э. Шредингер предложил уравнение, которое применимо для любой системы (электрона, движущегося автомобиля и т. д.) и решением которого является волновая функция этой системы.

Можно сказать, что роль уравнения Шредингера в квантовой теории такая же, как роль уравнений Ньютона в классической механике: их часто называют «вдохновенными постулатами». Уравнения Ньютона позволяют рассчитать траекторию частицы, а уравнение Шредингера - ее волновую функцию.

Интерпретация волновой функции будет дана в следующем разделе, а пока остановимся на вопросе, почему решение уравнения Шредингера называется именно волновой, а не какой-либо иной функцией. Для этого напишем уравнение Шредингера для простейшего случая частицы, которая может свободно двигаться в одном измерении. Она имеет вид

(/)(/)−+η2222mddxVEψψ = ψ

где ψ - волновая функция; V - потенциальная энергия частицы в точке x; Е - ее полная энергия (кинетическая плюс потенциальная); ђ («аш» перечеркнутая) - постоянная Планка, деленная на 2π; m - масса частицы. Предположим, что в какой-то области перемещения потенциальная энергия частицы равна нулю. Тогда в левой части уравнения Шредингера пропадет второй член, и получится упрощенное уравнение решением которого будет ψ =ехр(ikx), где k=(2mE/ђ)1/2. Но ехр (ikx) = coskx + isinkx, следовательно ψ = coskx + isinkx. Поскольку V=0, полная энергия Е будет исключительно кинетической энергией частицы, которая связана с моментом количества движения соотношением E=p2/2m, откуда р = (2mE)1/2. Сопоставление этой формулы с написанным выше выражением для k дает момент количества движения частицы p=kђ. Известно, что стандартная форма гармонической волны имеет вид cos(2πx/λ), а в выражение для волной функции входит cos(kx). Следовательно, сoskx (или sinkx) можно представить как волну с длиной λ = 2π/k. Комбинируя выражения для р и λ, получим соотношение де Бройля: р = kђ= (2π/λ)(h/2π) = h/λ. Таким образом, решение уравнения Шредингера сводится к волнам де Бройля, существование которых экспериментально доказано в опытах по дифракции вещества, поэтому оно и было названо волновой функцией.

Легко видеть, что если потенциальная энергия равна нулю, то длина волны частицы равна нулю, то длина волны частицы равна h/p. Когда потенциальная энергия отлична от нуля, но имеет постоянную величину, уравнение Шредингера превращается в (-ђ/2m)(d2ψ/dx2)=(E-V)ψ, а решение снова имеет вид exp(ikx), но при этом E=ђ2k2/2m+V. Использование соотношения k = 2π/λ дает λ = h/(2m(E-V))1/2. Из этого следует, что для постоянной полной энергии с ростом V величина Е-V уменьшается, и поэтому длина волны растет до тех пор, пока не достигнет бесконечного значения при E=V. Но (E-V) - это кинетическая энергия частицы. Следовательно, с понижением кинетической энергии длина волны де Бройля растет и для состояния покоя достигает бесконечного значения. Анализ уравнения Шредингера, представляющего собой дифференциальное уравнение второго порядка, показывает, что оно имеет бесконечное число решений, т.е. энергия частицы Е может принимать любые значения. Однако, энергия квантована, поэтому некоторые решения необходимо обязательно исключить. Но для начала нужно придать физический смысл волновой функции ψ.

Смотрите также

Разработка урока по теме: "Метан, его строение и валентные состояния атома углерода"
Цели урока: сформировать представление о составе и строении метана, его нахождении в природе и физических свойствах; изучить валентные состояния атома углерода. Задачи урока: 1) изучить с ...

Экспериментальная часть
Измерения проводили по трехэлектродной схеме: рабочий электрод – стеклоуглеродный стержень (Æ 0,7 мм), вспомогательный электрод – стеклоуглеродный тигель (V = 25 см3) и электрод сравнения – хл ...

Свойства элементов подгруппы VIВ и VIIВ
Цель работы: изучение химических свойств элементов подгруппы хрома и марганца. Хром, молибден и вольфрам составляют VIB группу периодической системы. В невозбужденном состоянии электронное стро ...