Математическая модель

По бытующим в настоящее время представлениям для существования колебаний один из продуктов реакции должен быть автокатализатором, т.е. ускорять ход реакции, в которой он образуется. Исходное вещество будем добавлять в реагирующую среду, поскольку оно расходуется в реакции образования автокатализатора. Предположим, что расход автокатализатора происходит в результате его распада с образованием какого-либо продукта, в дальнейшем не участвующим в ходе реакции. Для простоты предположим, что в уравнении автокатализа взаимодействуют по одной молекуле каждого вещества, а скорость распада автокатализатора пропорциональна его концентрации [12] .

A → X (k΄0)

X + Y → 2Y (k1)

Y → B (k2)

Заметим, что реальные химические реакции являются многостадийными и приведённые ниже уравнения химической кинетики, являются лишь удобной математической моделью [12], позволяющей объяснить существование колебательных химических реакций. Запишем уравнения математической модели химической кинетики, обозначив А*k΄0 = k0:

dx/dt=k0 - k1*x*y;

dy/dt=k1*x*y - k2*y;

Система уравнений имеет стационарное решение:

X = k2/k1;

Y = k0/k2;

Существует также решение Y=0, X=k0*t, которое соответствует отсутствию химической реакции, в результате чего концентрация исходного вещества постоянно нарастает, а автокатализатора не образуется, в связи с его отсутствием в начальный момент.

Линеаризованная система уравнений химической кинетики в окрестности точки X=k2/k1; Y=k0/k2 может быть записана как:

dx/dt = k2*y - (k1*k0/k2)*x

dy/dt = (k1*k0/k2)*x- k2*y

Данная система может быть сведена к линейному дифференциальному уравнению второго порядка d2x/dt2+2*d*dx/dt+w2*x=0, являющимся уравнением осциллятора.

Заметим, что при условии k1*k0<(k2)2 решением уравнения будут затухающие гармонические колебания.

Модифицируем начальную систему уравнений химической кинетики, таким образом, чтобы решением уравнения осциллятора были незатухающие периодические колебания. Проведённое компьютерное моделирование показало, что этого можно добиться, сделав коэффициент распада автокатализатора k2 зависящим от концентрации автокатализатора в растворе. Предположим для простоты, что k2 имеет максимум в окрестности равновесной концентрации X=k2/k1, Y=k0/k2, тогда система уравнений химической кинетики запишется в виде:

dx/dt = k0-k1*x*y;

dy/dt = k1*x*y-k2*(1-k3*(y-(k0/k2)2))*y;

Вид уравнения для автокатализатора позволяет предположить, что скорость распада автокатализатора при увеличении отклонения концентрации от равновесной будет уменьшаться относительно исходной модели, что может привести к незатухающим колебаниям концентрации. В данной модели, описывающей феномен незатухающих колебаний, коэффициент k3 определяет амплитуду колебаний.

Смотрите также

Синтез жирных кислот
Синтетические жирные кислоты (далее по тексту – СЖК) находят широкое применение как заменители пищевых жиров в производстве мыла и моющих средств, пластификаторов, мягчителей, стабилизаторов ...

Поверхностно-активные полимеры
Поверхностно-активные полимеры, или полимерные ПАВ, получили широкое распространение в последние 20 лет и сейчас используются во многих технологиях. Чаще всего их применяют для стабилизации ...

Нуклеиновые кислоты
...